Perbandingan Trigonometri

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI Gambar berikut menunjukkan segitiga OAB siku-siku di A dengan besar sudut O = αo   dimana: x = sisi siku-siku samping sudut (proyeksi) y = sisi siku-siku depan sudut (proyektor) r = sisi miring (proyektum) Perbandingan trigonometri untuk sudut  α pada segitiga siku-siku OAB didefinisikan sebagai berikut. dengan: sin α dibaca sinus α cos α dibaca cosinus α tan α dibaca tangen α csc α dibaca cosecan α sec α dibaca secan α cot α dibaca cotangen α Dari perbandingan di atas, kita memperoleh hubungan sebagai berikut Tips untuk mempermudah mengingat perbandingan trigonometri segitiga siku-siku di atas perhatikanlah gambar berikut. dari gambar di atas didapat Atau kita dapat menyingkatnya  Untuk sinus menjadi  Sindemi  (Sin depan miring) Untuk cosinus menjadi Cosami (cos samping miring) Untuk tangent menjadi Tandesa (tan depan samping) Contoh: Suatu garis OP dengan O (0,0) dan P (12,5) membentuk sudut α terhadap sumbu X positif. Tentukan perbandingan trigonometrinya! Penyelesaian: sebelum kita menentukan nilai perbandingan trigonometrinya, terlebih dahulu kita cari nilai r dengan menggunakan pythagoras sehingga didapat. Bagikan :   Perbandingan Trigonometri Pertama, mari kita lihat sebuah busur berikut. Busur ini adalah seperempat bagian dari lingkaran satuan. Kalau kamu belum pernah mengetahui lingkaran satuan, berikut ini adalah definisinya. Lingkaran satuan Lingkaran yang jari-jarinya (atau jarak pinggiran dari titik pusatnya) adalah satu. Pada busur ini ditaruh sebuah titik. Untuk memudahkan, saya memberi nama titik tersebut P. Kemudian, titik pusat lingkarannya adalah O, dan ada titik lain Q yang berada pada sumbu horizontal. Karena jari-jarinya satu, maka jarak dari O ke P (OP) dan jarak dari O ke Q (OQ) adalah satu. Dan titik Q, O, dan P, membentuk sebuah sudut yang saya namakan θ. Panjang Busur Berapakah panjang busur PQ? Jika busurnya adalah bagian dari lingkaran satuan, maka panjang busurnya adalah sebesar θ dalam radian. Sudut bisa dinyatakan dalam satuan derajat, juga bisa dinyatakan tanpa satuan, itu disebut radian. 180° adalah setara dengan π radian. Fungsi trigonometri Sinus Dari P kita buat garis vertikal ke bawah (tegak lurus OQ), yang akan memotong sumbu horizontal di titik A. Jarak P ke A (PA) ini disebut sebagai sinus. Karena sudut yang berkaitan dengannya adalah θ, maka disebut sebagai sin θ. Sinus berarti lekukan. Di belakang hidungmu juga terdapat rongga yang disebut sinus. Ketika ronggamu ini terkena infeksi, itu disebut sinusitis. PA disebut sinus karena ia yang paling dekat dengan lekukan (busur). Tangen Jika kita membuat garis lurus yang menyentuh lingkaran, atau berpotongan dengan lingkaran di satu titik saja, garis itu disebut garis singgung. Ada sebuah garis yang menyinggung lingkaran di titik P, dan garis itu akan memotong sumbu horizontal di titik B. Jarak P ke B (PB) ini disebut sebagai tangen, disingkat sebagai tan θ. Tangen (atau tangent), berasal dari kata tangere yang berarti menyentuh. Ada istilah tangible yang berarti segala sesuatu yang dapat disentuh. Mungkin ini juga penyebabnya organ tubuhmu yang dipakai untuk menyentuh disebut sebagai tangan. PB disebut tangen karena ia menyentuh lingkaran. Sekan Nah, sekarang, pada gambar tersebut terdapat garis OB, yang disebut sebagai sekan, atau sec θ. Sekan (atau secant) berasal dari kata secare yang dalam bahasa Latin berarti memotong. Kata ini merupakan akar kata dari section. Karena OB memotong lingkaran, maka ia disebut sekan. Ko-sudut Setiap sudut memiliki sudut komplementer, yang saya singkat sebagai ko-sudut. Ko-sudut adalah sudut lain yang melengkapi sudut tersebut menjadi siku-siku (90°). Dalam gambar ini sudut POR melengkapi sudut QOP menjadi siku-siku. Karena sudut QOP tadi saya namakan θ, maka sudut POR saya namakan co θ. Besar sudut co θ adalah 90°-θ. Sebelumnya kita sudah melihat bahwa sudut θ memiliki sinus, tangen, dan sekan. Demikian juga dengan co θ. Itu semua disebut sebagai komplemen. Karena sin θ, tan θ, dan sec θ adalah fungsi, maka kita juga bisa membuat kofungsinya. Ko-fungsi Ko-fungsi adalah fungsi trigonometri lain yang sudutnya adalah komplemen dari sudut semula. Kofungsi dari sinus disebut kosekan, kofungsi dari tangen disebut kotangen, dan kofungsi dari sekan disebut kosekan. Secara umum, kalau fungsi trigonometrinya disebut ft(θ), maka kofungsinya disebut sebagai coft(θ), dengan hubungan sebagai berikut. coft(θ) = ft(co θ) coft(θ) = ft(90° - θ) Ko-sinus Ko-sinus adalah komplemen dari sinus. cos θ = sin(co θ) Atau cos θ = sin(90° - θ) Ko-tangen Ko-tangen adalah komplemen dari tangen. cot θ = tan(co θ) Atau cot θ = tan(90° - θ) Ko-sekan Ko-sekan adalah komplemen dari sekan. csc θ = sec(co θ) Atau csc θ = sec(90° - θ) Simetri Setiap fungsi trigonometri simetris dengan kofungsinya, karena sifat simetris dari co θ = 90° - θ. cos θ = sin(90° - θ), maka sin θ = cos(90° - θ) cot θ = tan(90° - θ), maka tan θ = cot(90° - θ) csc θ = sec(90° - θ), maka sec θ = csc(90° - θ) Seluruhnya Jadi, seluruh perbandingan trigonometri:

Contoh Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri

1. Sederhanakan bentuk trigonometri  (1 + cot² β) / (cot β . sec² β).
   
   Pembahasan
   Dari pecahan (1 + cot² β) / (cot β . sec² β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.
   1 + cot² β = cosec² β
   ⇒ 1 + cot² β = 1/sin² β
   
   cot β . sec² β = (cos β/ sinβ) . sec² β
   ⇒ cot β . sec² β = (cos β/ sin β).(1/cos² β)
   ⇒ cot β . sec² β = cos β / sin β.cos² β
   
   Setelah digabung kembali diperoleh :
   (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) / (cos β / sinβ.cos² β)
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) . (sin β.cos² β / cos β)
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = sin β.cos² β / sin² β.cos β
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cos β / sin β
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β 
   Jadi, (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β.
2. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α.
   
   Pembahasan
   Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.
   (sin α - cos α)² = sin² α - 2 sin α. cos α +  cos² α
   ⇒ (sin α - cos α)² = sin² α +  cos² α - 2 sin α. cos α
   ⇒ (sin α - cos α)² = 1 - 2 sin α. cos α
   Selanjutnya :
   (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
   ⇒ (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1
   Jadi, (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1.
   
   
3. Buktikan bahwa sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α.
   
   Pembahasan
   sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α
   ⇒ sec² α (sec² α - 1) = tan² α (tan² α + 1)
   ⇒ sec² α (tan² α) = tan² α (sec² α)
   ⇒ sec² α . tan² α = sec² α . tan² α
   Jadi, sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α = sec² α . tan² α.
   Terbukti.
4. Nyatakan setiap bentuk berikut ke dalam faktor-faktor yang paling sederhana.
   a. 1 - cos² β
   b. sin² α -  cos² α
   c. tan² α - 1
   d. sin² α - 2 sin α cos α + cos² α
   
   Pembahasan
   

   1. 1 - cos² β
      
      Dari identitas sin² β +  cos² β = 1, maka diperoleh :
      ⇒ 1 - cos² β = sin² β
      Jadi, 1 - cos² β = sin² β.
   2. sin² α -  cos² α
      
      Dari identitas sin² α +  cos² α = 1, maka sin² α  = 1 - cos² α.
      ⇒ sin² α -  cos² α = 1 - cos² α - cos² α
      ⇒ sin² α -  cos² α = 1 - 2 cos² α
      Karena 2 cos² α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos² α = - cos 2α.
      ⇒ sin² α -  cos² α = -cos 2α
      Jadi, sin² α -  cos² α = -cos 2α.
   3. tan² α - 1
      Dari identitas 1 + tan² α = sec² α, maka tan² α = sec² α - 1
      ⇒ tan² α - 1 = sec² α - 1 - 1
      ⇒ tan² α - 1 = sec² α - 2
   4. sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = sin² α + cos² α - 2 sin α cos α
      ⇒ sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - 2 sin α cos α
      ⇒ sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - sin 2α
      Jadi,  sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - sin 2α .
   
   
5. Buktikan tiap identitas trigonometri berikut.
   a. 1/3 sin² α + 1/3 cos² α = 1/3
   b. 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
   c. 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
   
   Pembahasan
   1. 1/3 sin² α + 1/3 cos² α = 1/3
      ⇒ 1/3 (sin² α + cos² α) = 1/3
      ⇒ 1/3 (1) = 1/3
      ⇒ 1/3 = 1/3
      Terbukti.
      
   2. 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      
      Ingat bahwa sin² α + cos² α = 1, maka 3 sin² α + 3 cos² α = 3.
      Dari 3 sin² α + 3 cos² α = 3, maka 3 cos² α = 3 - 3 sin² α.
      

      ⇒ 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      ⇒ 3 - 3 sin² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      ⇒ 1 - 3 sin² α = 1 - 3 sin² α.
      Terbukti.
   3. 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
      Dari 5 sin² α + 5 cos² α = 5, maka 5 sin² α = 5 - 5 cos² α.
      ⇒ 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
      ⇒ 3 + 5 - 5 cos² α = 8 - 5 cos² α
      ⇒ 8 - 5 cos² α = 8 - 5 cos² α.
      Terbukti.
      

Tokoh Kita

Al-Battani - Bapak trigonometri

Al-Battani

Lahir: 

sekitar 858, Harran dekat Urfa, Mesopotamia (sekarang Turki) 

Meninggal : 929 CE Qasr al-JISS (dekat Samarra), Damaskus 

Era: 

Zaman keemasan Islam 

Wilayah: 

Kalifat 

Kepentingan utama: 

Matematika, Astronomi, Astrologi 

Gagasan penting: 

Trigonometri 

Karya besar: 

Kitāb az-Zij

Al-Battani atau Muhammad Ibn Jabir Ibn Sinan Abu Abdullah dikenal sebagai bapak trigonometri. Ia adalah tokoh bangsa Arab dan gubernur Syria. Dia merupakan astronom Muslim terbesar dan ahli matematika ternama. Al-Battani melahirkan trigonometri untuk level lebih tinggi dan orang pertama yang menyusun tabel cotangen. Salah satu pencapaiannya yang terkenal adalah tentang penentuan tahun matahari sebagai 365 hari, 5 jam, 46 menit dan 24 detik.

Al Battani (Bahasa Arab أبو عبد الله محمد بن جابر بن سنان الحراني الصابي البتاني ; nama lengkap: Abū ʿAbdullāh Muḥammad ibn Jābir ibn Sinān ar-Raqqī al-Ḥarrani aṣ-Ṣabiʾ al-Battānī), Sedangkan dalam Latin dikenal sebagai Albategnius, Albategni atau Albatenius.

Al-Battani lahir sekitar 858 di Harran dekat Urfa, di Upper Mesopotamia, yang sekarang di Turki. Ayahnya adalah seorang pembuat  instrumen ilmiah terkenal. Beberapa sejarawan Barat menyatakan bahwa dia berasal dari kalangan miskin, seperti budak Arab, namun penulis biografi tradisional Arab tidak menyebutkan ini. Dia tinggal dan bekerja di Ar-Raqqah, sebuah kota di utara pusat Suriah dan di Damaskus, yang juga merupakan tempat wafatnya.

Astronomi 

Salah satu prestasi Al-Battani yang paling terkenal di astronomi adalah penyempurnaan dari nilai-nilai yang ada untuk panjang tahun. Ptolemy menghitung panjang tahun matahari sebagai 365 hari, 5 jam, 55 menit dan 12 detik. Al-Battani menghitung kembali nilai-nilai tahun matahari untuk panjang tahun sebagai 365 hari, 5 jam, 46 menit dan 24 detik. Para peneliti telah menganggap perbedaan fenomena karena Al-Battaniberada di lokasi geografis yang lebih dekat dengan lintang selatan, yang mungkin lebih menguntungkan bagi pengamatan tersebut.

Ia mampu memperbaiki beberapa hasil Ptolemy dan menyusun tabel baru dari matahari dan Bulan. Al-Battani menemukan kembali bahwa arah Matahari berubah.

Dia juga menguraikan ke tingkat tertentu sejumlah hubungan trigonometri, penggunaan sinus dalam perhitungan, dan sebagian dari garis singgung. Ia menjelaskan ke tingkat tertentu karya seorang astronom India, Aryabhata (476-550 M) dan astronom Yunani Pythagoras (570 SM -. c 495 SM). Dia juga menghitung kembali nilai-nilai untuk presesi ekuinoks (54,5 "per tahun, atau 1 ° dalam 66 tahun) dan arah miring dari ekliptika (23 ° 35 '), yang merupakan penjabaran dari Hipparchus. Dia menggunakan tingkat yang seragam untuk presesi dalam tabel nya.

Karya Al-Battani yang dianggap berperan dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan astronomi ke tingkat tertentu.

Matematika 

Dalam matematika , al-Battani menghasilkan sejumlah persamaan trigonometri:

dan menggunakan gagasan al-Marwazi tentang tangen dalam mengembangkan persamaan-persamaan untuk menghitung tangen, cotangen dan menyusun tabel perhitungan tangen. Dia juga menemukan fungsi kebalikan dari garis potong dan cosecan, dan menghasilkan tabel pertama cosecants, yang ia disebut sebagai "tabel bayangan" (merujuk pada bayangan gnomon ), untuk setiap gelar dari 1 ° sampai 90 °.

Karya

karya utama Al-Battani yang terkenal adalah Kitāb az-Zij, atau buku tabel astronomi, juga dikenal sebagai az-Zij as-Sabi '. Hal ini sebagian besar didasarkan pada teori Ptolemy, dan sumber-sumber Yunani-Siria lainnya, sambil menunjukkan sedikit pengaruh India atau Persia.

Buku ini dicetak diterjemahan ke dalam bahasa Latin dan Spanyol, termasuk terjemahan Latin sebagai De Motu Stellarum oleh Plato dari Tivoli di 1116, yang kemudian dicetak ulang dengan penjelasan oleh Regiomontanus. Sebuah cetak ulang muncul di Bologna pada 1645. MS asli. diawetkan di Vatikan; dan perpustakaan Escorial memiliki di MS. sebuah risalah dari beberapa nilai olehnya pada kronologi astronomi.

Akhir hayat

Al-Battani meninggal pada tahun 929 di  Qasr al-JISS (dekat Samarra), Damaskus.

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

 

Untuk menjawab hal ini, kita perlu memahami konsep kuadran. Kuadran adalah pembagian wilayah sudut menjadi 4 bagian yang sama dengan menggunakan koordinat kartesius.

Dengan memperhatikan grafik pembagian kuadran di atas, kita bisa memahami bahwa sudut-sudut istimewa terletak pada kuadran I, Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri di kuadran II, II, dan IV kita bisa menerapkan rumus perbandingan trigonometri yang telah kita pelajari sebelumnya, bahwa:

dimana r selalu positif, dan x atau y menyesuaikan letaknya dalam sumbu koordinat, maka diperoleh :

Untuk menghafalkannya, kita cukup memandang nilai-nilai perbandingan yang positif saja, seperti pada grafik berikut :

Atau bisa kita lafalkan dengan ALL SIN TAN COS, sedangkan nilai perbandingan cosecan, secan dan cotangen letaknya sama dengan kebalikannya.

Soal dan Pembahasan Trigonometri Sudut berelasi

1. Nyatakanlah perbandingan trigonometri berikut ini ke dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya!
   a. sin 52^o
   b. cos 16^o
   c. tan 57^o
   d. cot 28^o
   e. sec 56^o
   f. cosec 49^o
   
   Pembahasan 
   Perhatikan bahwa semua sudut yang ditanya berada pada kuadran I sehingga semua nilai perbandingan trigonometrinya positif.
   

   1. sin 52^o = sin (90^o - 38^o)
      ⇒ sin 52^o = cos 38^o
      Jadi, sin 52^o = cos 38^o.
   2. cos 16^o = cos (90^o - 74^o)
      ⇒ cos 16^o = sin 74^o
      Jadi, cos 16^o = sin 74^o
   3. tan 57^o = tan (90^o - 33^o)
      ⇒ tan 57^o = cot 33^o
      Jadi, tan 57^o = cot 33^o
   4. cot 28^o = cot (90^o - 62^o)
      ⇒ cot 28^o = tan 62^o
      Jadi, cot 28^o = tan 62^o
   5. sec 56^o = sec (90^o - 34^o)
      ⇒ sec 56^o = cosec 34^o
      Jadi, sec 56^o = cosec 34^o
   6. cosec 49^o = cosec (90^o - 41^o)
      ⇒ cosec 49^o = sec 41^o
      Jadi, cosec 49^o = sec 41^o

   
   Berikut rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90^o - α^o) dan (90^o + α^o). Ingat bahwa (90^o - α^o) menghasilkan sudut kuadran I sehingga semua perbandingan trigonometri bernilai positif sedangkan (90^o + α^o) menghasilkan sudut kuadran II sehingga hanya perbandingan trigonometri sinus dan cosecan yang bernilai positif.
   
   

   
2. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut lancip!
   a. sin 134^o
   b. cos 151^o
   c. tan 99^o
   d. cot 161^o
   e. sec 132^o
   f. cosec 147^o
   
   Pembahasan
   Sudut lancip merupakan sudut yang berada pada kuadran I sehingga sudut pada soal harus kita ubah menjadi sudut kuadran I dengan mengunakan rumus untuk sudut (90^o + α^o). Ingat bahwa untuk sudut kuadran II hanya sinus dan cosecan yang bernilai positif.
   

   1. sin 134^o = sin (90^o + 44^o)
      ⇒ sin 134^o = cos 44^o
      Jadi, sin 134^o = cos 44^o.
   2. cos 151^o = cos (90^o + 61^o)
      ⇒ cos 151^o = -sin 61^o
      Jadi, cos 151^o = -sin 61^o
   3. tan 99^o = tan (90^o + 9^o)
      ⇒ tan 99^o = -cot 9^o
      Jadi, tan 99^o = -cot 9^o
   4. cot 161^o = cot (90^o - 71^o)
      ⇒ cot 161^o = -tan 71^o
      Jadi, cot 161^o = -tan 71^o
   5. sec 132^o = sec (90^o - 42^o)
      ⇒ sec 132^o = -cosec 42^o
      Jadi, sec 132^o = -cosec 42^o
   6. cosec 147^o = cosec (90^o - 57^o)
      ⇒ cosec 147^o = sec 57^o
      Jadi, cosec 147^o = sec 57^o

   
   
3. Dengan menggunakan rumus perbandingan triogonometri untuk sudut (90^o + α^o), hitunglah nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut ini!
   a. sin 135^o
   b. cos 150^o
   c. tan 120^o
   
   Pembahasan
   

   1. sin 134^o = sin (90^o + 45^o)
      ⇒ sin 134^o = cos 45^o
      Jadi, sin 134^o = ½√2.
   2. cos 150^o = cos (90^o + 60^o)
      ⇒ cos 150^o = -sin 60^o
      Jadi, cos 150^o = -½√3.
   3. tan 120^o = tan (90^o + 30^o)
      ⇒ tan 120^o = -cot 30^o
      Jadi, tan 120^o = -√3.
4. Sederhanakanlah setiap bentuk berikut ini :
   a. cos (90^o - α^o) / sin (90^o - α^o)
   b. sec (90^o - α^o) / cosec (180^o + α^o)
   c. sin (90^o - α^o) / sin (90^o + α^o)
   d. sin (180^o - α^o) / sin (90^o - α^o)
   e. cos (90^o + α^o) / cosec (180^o - α^o)
   
   Pembahasan 
   

   1. cos (90^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = sin α^o / cos α^o
      ⇒ cos (90^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = tan α^o
      Jadi, cos (90^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = tan α^o.
   2. sec (90^o - α^o) / cosec (180^o + α^o) = cosec α^o / -cosec α^o
      ⇒ sec (90^o - α^o) / cosec (180^o + α^o) = -1
      Jadi, sec (90^o - α^o) / cosec (180^o + α^o) = -1
   3. sin (90^o - α^o) / sin (90^o + α^o) = cos α^o / cos α^o
      ⇒ sin (90^o - α^o) / sin (90^o + α^o) = 1
      Jadi, sin (90^o - α^o) / sin (90^o + α^o) = 1
   4. sin (180^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = sin α^o / cos α^o
      ⇒ sin (180^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = tan α^o
      Jadi, sin (180^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = tan α^o
   5. cos (90^o + α^o) / cosec (180^o - α^o) = -sin α^o / cosec α^o
      ⇒ cos (90^o + α^o) / cosec (180^o - α^o) = -sin α^o / (1/sin α^o)
      Jadi, cos (90^o + α^o) / cosec (180^o - α^o) = - sin² α^o
5. Jika α, β, dan γ adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkanlah bahwa :
   a. sin (β + γ) = sin α
   b. cos (β + γ) = -cos α
   c. tan (β + γ) = -tan α
   
   Pembahasan 
   Ingat bahwa dalam segitiga jumlah sudutnya sam dengan 180^o, sehingga berlaku :
   α + β + γ = 180^o , → β + γ = 180^o - α.
   

   1. sin (β + γ) = sin α
      ⇒ sin (180^o - α) = sin α
      ⇒ sin α = sin α
      Terbukti.
   2. cos (β + γ) = -cos α
      ⇒ cos (180^o - α) = -cos α
      ⇒ -cos α = -cos α
      Terbukti.
   3. tan (β + γ) = -tan α
      ⇒  tan (180^o - α) = -tan α
      ⇒  -tan α = -tan α
      Terbukti.

Penerapan Trigonometri dalam Kehidupan

Peran Trigonometeri dalam Kehidupan:

a. Menghitung sudut serang (angle of attack) yg paling optimal dari suatu peluncur senjata, agar mampu melontarkan projektil sejauh mungkin 

b. Menentukan berapa gradien tertinggi dari suatu tanjakan dijalan umum dipe gunungan, agar semua kendaraan (terutama sedan, dgn panjang sumbu badan yg tinggi, tetapi, ketinggian as roda rendah), dapat melewatinya dgn selamat

c. Geografi untuk mengukur jarak antar tempat. 

d. Menghitung berapa "lift force" suatu sayap profil pesawat, dgn kecepatan tertentu, yg tidak boleh dilewati. Bila nilai ini dilewati, maka pesawat akan mengalami stall (jatuh karena tidak memiliki daya angkat), khususnya perhitungan ini diperlukan pada pesawat pemburu. 

e. Arsitek dalam mengukur tinggi suatu bangunan.

f. Trigonometri digunakan dalam menemukan jarak antara benda-benda angkasa
 
g.Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suara dan cahaya.
 

h.trigonometri juga digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang air laut

Berikut ini saya selipkan video tentang penerapan trigonometri dalam kehidupan. Semoga bermanfaat!

Tabel Trigonometri

Tabel Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa




Jika sudut yang dicari bukan nilai dari sudut istimewa kita dapat menggunakan tabel trigonometri untuk membantu menemukan nilai sudutnya.
Dalam mencari nilai fungsi trigonometri sudut 0° hingga 44°60′ atau 45°, lihat bagian atas.
Untuk sudut 45° hingga 90°, lihat bagian bawah.
Ubah sudut ke dalam sistem menit.
Contoh 1:
sin 37,5° = … ?
37,5° = 37° + 0,5 × 60′ = 37°30′
Cari nilai 37° di bagian atas, kemudian telusuri kolom pertama hingga angka 30:

Sehingga  sin 37,5° = 0,6088

Contoh 2:
tan 56,1° = … ?
56,1° = 56° + 0,1 × 60′ = 56°6′
Cari nilai 56° di bagian bawah, kemudian telusuri kolom terakhir dari bawah ke atas hingga angka 6:

Sehingga nilai tan 56,1° = 1.4882
 

Persamaan Trigonometri Sederhana

Persamaan Trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari suatu sudut yang belum diketahui

Rumus Penyelesaian Persamaan Trigonometri

Sinus



Cosinus



Tangen



k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.

Contoh:

Soal No. 1
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ¹/₂

Pembahasan
Dari:
sin x = ¹/₂

Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya ¹/₂ adalah 30°.

Sehingga
sin x = ¹/₂
sin x = sin 30°

Dengan pola rumus yang pertama di atas:



(i) x = 30 + k ⋅ 360
k = 0 → x = 30 + 0 = 30 °
k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °


(ii) x = (180 − 30) + k⋅360
   x = 120 + k⋅360            
x = 150 + k⋅360
k = 0 → x = 150 + 0 = 150 °
k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °

Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {30°, 150°}

Soal No. 2
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = ¹/₂

Pembahasan
¹/₂ adalah nilai cosinus dari 60°.

Sehingga

cos x = cos 60°



(i) x = 60° + k ⋅ 360°
k = 0 → x = 60 + 0 = 60 °
k = 1 → x = 60 + 360 = 420°

(ii) x = −60° + k⋅360
x = −60 + k⋅360
k = 0 → x = −60 + 0 = −60°
k = 1 → x = −60 + 360° = 300°

Himpunan penyelesaian yang diambil adalah:
HP = {60°, 300°}

Soal No. 3
Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x − 30) = ¹/₂ √3

Pembahasan
¹/₂ √3 miliknya sin 60°

Sehingga

sin (x − 30) = sin 60°



dan


Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}

Soal No. 4
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari
cos (x − 30°) = ¹/₂ √2

Pembahasan
Harga awal untuk ¹/₂ √2 adalah 45°



HP = {75°, 345°}

Soal No. 5
Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x + sin x = 0

untuk 0 < x ≤ 2π adalah.....
A. {π/2, 4π/3, 5π/3}
B. {π/2, 7π/6, 4π/3}
C. {π/2, 7π/6, 5π/3}
D. {π/2, 7π/6, 11π/6}
E. {π/2, 5π/3, 11π/6}

Pembahasan
Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:

cos 2x = cos2 x − sin2x cos 2x = 2 cos2 x − 1 cos 2x = 1 − 2 sin2 x

cos 2x + sin x = 0
1 − 2 sin² x + sin x = 0
− 2 sin² x + sin x + 1 = 0
2 sin² x − sin x − 1 = 0

Faktorkan:
(2sin x + 1)(sin x − 1) = 0
2sin x + 1 = 0
2sin x = −1
sin x = −¹/₂
x = 210° dan x = 330°
atau
sin x − 1 = 0
sin x = 1
x = 90°

Sehingga:
HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat.
HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.

Jawaban : D.

Soal No. 6
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
A. {2π/3,4π/3}
B. {4π/3, 5π/3}
C. {5π/6, 7π/6}
D. {5π/6, 11π/6}
E. {7π/6, 11π/6}

Pembahasan
Persamaan trigonometri:
Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 − 2sin² x


Soal No. 7
Himpunan penyelesaian persamaan 2cos ²x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…
A. {π/6, 5π/6}
B. {π/6, 11π/6}
C. {π/3, 2π/3}
D. {π/3, 5π/3}
E. {2π/3, 4π/3}

Pembahasan
2cos ²x − 3 cos x + 1 = 0

Faktorkan:
(2cos x − 1)(cos x − 1) = 0
(2cos x − 1) = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2
x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3

atau
(cos x − 1) = 0 cos x = 1
x = 0° dan x = 360° = 2π (Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π)

Jadi HP = {π/3, 5π/3}
Jawaban: D

Soal No. 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…
A. {150°,165°}
B. {120°,150°}
C. {105°,165°}
D. {30°,165°}
E. (15°,105°)

Pembahasan
Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:
cos 4x + 3 sin 2x = −1


Untuk faktor


Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor


Diperoleh

Jadi HP = {105°,165°}
Soal No. 9
Himpunan penyelesaian dari 2 sin² x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤  360° adalah....
A. {30°, 90°, 150°}
B. {30°, 120°, 240°}
C. {30°, 120°, 300°}
D. {30°, 150°, 270°}
E. {60°, 120°, 270°}
(UN Matematika SMA IPA 2014)

Pembahasan

Soal No. 10
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − 2 sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah....
A. {0, π, 3π/2, 2π}
B. {0, π, 4π/3, 2π}
C. {0, 2π/3; π, 2π}
D. {0, π, 2π}
E. {0, π, 3π/2}

Pembahasan
Soal ini lebih mudah lagi, syaratnya adalah 0 ≤ x < 2π , maka x tidak boleh memuat 2π, karena tandanya adalah lebih kecil dari 2π bukan lebih kecil atau sama dengan. Jadi pilihan yang ada 2π nya salah, hanya E yang tidak memuat 2π. Jadi jawabnya yang E