Contoh Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri

1. Sederhanakan bentuk trigonometri  (1 + cot² β) / (cot β . sec² β).
   
   Pembahasan
   Dari pecahan (1 + cot² β) / (cot β . sec² β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.
   1 + cot² β = cosec² β
   ⇒ 1 + cot² β = 1/sin² β
   
   cot β . sec² β = (cos β/ sinβ) . sec² β
   ⇒ cot β . sec² β = (cos β/ sin β).(1/cos² β)
   ⇒ cot β . sec² β = cos β / sin β.cos² β
   
   Setelah digabung kembali diperoleh :
   (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) / (cos β / sinβ.cos² β)
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) . (sin β.cos² β / cos β)
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = sin β.cos² β / sin² β.cos β
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cos β / sin β
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β 
   Jadi, (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β.
2. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α.
   
   Pembahasan
   Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.
   (sin α - cos α)² = sin² α - 2 sin α. cos α +  cos² α
   ⇒ (sin α - cos α)² = sin² α +  cos² α - 2 sin α. cos α
   ⇒ (sin α - cos α)² = 1 - 2 sin α. cos α
   Selanjutnya :
   (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
   ⇒ (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1
   Jadi, (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1.
   
   
3. Buktikan bahwa sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α.
   
   Pembahasan
   sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α
   ⇒ sec² α (sec² α - 1) = tan² α (tan² α + 1)
   ⇒ sec² α (tan² α) = tan² α (sec² α)
   ⇒ sec² α . tan² α = sec² α . tan² α
   Jadi, sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α = sec² α . tan² α.
   Terbukti.
4. Nyatakan setiap bentuk berikut ke dalam faktor-faktor yang paling sederhana.
   a. 1 - cos² β
   b. sin² α -  cos² α
   c. tan² α - 1
   d. sin² α - 2 sin α cos α + cos² α
   
   Pembahasan
   

   1. 1 - cos² β
      
      Dari identitas sin² β +  cos² β = 1, maka diperoleh :
      ⇒ 1 - cos² β = sin² β
      Jadi, 1 - cos² β = sin² β.
   2. sin² α -  cos² α
      
      Dari identitas sin² α +  cos² α = 1, maka sin² α  = 1 - cos² α.
      ⇒ sin² α -  cos² α = 1 - cos² α - cos² α
      ⇒ sin² α -  cos² α = 1 - 2 cos² α
      Karena 2 cos² α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos² α = - cos 2α.
      ⇒ sin² α -  cos² α = -cos 2α
      Jadi, sin² α -  cos² α = -cos 2α.
   3. tan² α - 1
      Dari identitas 1 + tan² α = sec² α, maka tan² α = sec² α - 1
      ⇒ tan² α - 1 = sec² α - 1 - 1
      ⇒ tan² α - 1 = sec² α - 2
   4. sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = sin² α + cos² α - 2 sin α cos α
      ⇒ sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - 2 sin α cos α
      ⇒ sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - sin 2α
      Jadi,  sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - sin 2α .
   
   
5. Buktikan tiap identitas trigonometri berikut.
   a. 1/3 sin² α + 1/3 cos² α = 1/3
   b. 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
   c. 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
   
   Pembahasan
   1. 1/3 sin² α + 1/3 cos² α = 1/3
      ⇒ 1/3 (sin² α + cos² α) = 1/3
      ⇒ 1/3 (1) = 1/3
      ⇒ 1/3 = 1/3
      Terbukti.
      
   2. 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      
      Ingat bahwa sin² α + cos² α = 1, maka 3 sin² α + 3 cos² α = 3.
      Dari 3 sin² α + 3 cos² α = 3, maka 3 cos² α = 3 - 3 sin² α.
      

      ⇒ 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      ⇒ 3 - 3 sin² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      ⇒ 1 - 3 sin² α = 1 - 3 sin² α.
      Terbukti.
   3. 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
      Dari 5 sin² α + 5 cos² α = 5, maka 5 sin² α = 5 - 5 cos² α.
      ⇒ 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
      ⇒ 3 + 5 - 5 cos² α = 8 - 5 cos² α
      ⇒ 8 - 5 cos² α = 8 - 5 cos² α.
      Terbukti.