Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

 

Untuk menjawab hal ini, kita perlu memahami konsep kuadran. Kuadran adalah pembagian wilayah sudut menjadi 4 bagian yang sama dengan menggunakan koordinat kartesius.

Dengan memperhatikan grafik pembagian kuadran di atas, kita bisa memahami bahwa sudut-sudut istimewa terletak pada kuadran I, Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri di kuadran II, II, dan IV kita bisa menerapkan rumus perbandingan trigonometri yang telah kita pelajari sebelumnya, bahwa:

dimana r selalu positif, dan x atau y menyesuaikan letaknya dalam sumbu koordinat, maka diperoleh :

Untuk menghafalkannya, kita cukup memandang nilai-nilai perbandingan yang positif saja, seperti pada grafik berikut :

Atau bisa kita lafalkan dengan ALL SIN TAN COS, sedangkan nilai perbandingan cosecan, secan dan cotangen letaknya sama dengan kebalikannya.

Soal dan Pembahasan Trigonometri Sudut berelasi

1. Nyatakanlah perbandingan trigonometri berikut ini ke dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya!
   a. sin 52^o
   b. cos 16^o
   c. tan 57^o
   d. cot 28^o
   e. sec 56^o
   f. cosec 49^o
   
   Pembahasan 
   Perhatikan bahwa semua sudut yang ditanya berada pada kuadran I sehingga semua nilai perbandingan trigonometrinya positif.
   

   1. sin 52^o = sin (90^o - 38^o)
      ⇒ sin 52^o = cos 38^o
      Jadi, sin 52^o = cos 38^o.
   2. cos 16^o = cos (90^o - 74^o)
      ⇒ cos 16^o = sin 74^o
      Jadi, cos 16^o = sin 74^o
   3. tan 57^o = tan (90^o - 33^o)
      ⇒ tan 57^o = cot 33^o
      Jadi, tan 57^o = cot 33^o
   4. cot 28^o = cot (90^o - 62^o)
      ⇒ cot 28^o = tan 62^o
      Jadi, cot 28^o = tan 62^o
   5. sec 56^o = sec (90^o - 34^o)
      ⇒ sec 56^o = cosec 34^o
      Jadi, sec 56^o = cosec 34^o
   6. cosec 49^o = cosec (90^o - 41^o)
      ⇒ cosec 49^o = sec 41^o
      Jadi, cosec 49^o = sec 41^o

   
   Berikut rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90^o - α^o) dan (90^o + α^o). Ingat bahwa (90^o - α^o) menghasilkan sudut kuadran I sehingga semua perbandingan trigonometri bernilai positif sedangkan (90^o + α^o) menghasilkan sudut kuadran II sehingga hanya perbandingan trigonometri sinus dan cosecan yang bernilai positif.
   
   

   
2. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut lancip!
   a. sin 134^o
   b. cos 151^o
   c. tan 99^o
   d. cot 161^o
   e. sec 132^o
   f. cosec 147^o
   
   Pembahasan
   Sudut lancip merupakan sudut yang berada pada kuadran I sehingga sudut pada soal harus kita ubah menjadi sudut kuadran I dengan mengunakan rumus untuk sudut (90^o + α^o). Ingat bahwa untuk sudut kuadran II hanya sinus dan cosecan yang bernilai positif.
   

   1. sin 134^o = sin (90^o + 44^o)
      ⇒ sin 134^o = cos 44^o
      Jadi, sin 134^o = cos 44^o.
   2. cos 151^o = cos (90^o + 61^o)
      ⇒ cos 151^o = -sin 61^o
      Jadi, cos 151^o = -sin 61^o
   3. tan 99^o = tan (90^o + 9^o)
      ⇒ tan 99^o = -cot 9^o
      Jadi, tan 99^o = -cot 9^o
   4. cot 161^o = cot (90^o - 71^o)
      ⇒ cot 161^o = -tan 71^o
      Jadi, cot 161^o = -tan 71^o
   5. sec 132^o = sec (90^o - 42^o)
      ⇒ sec 132^o = -cosec 42^o
      Jadi, sec 132^o = -cosec 42^o
   6. cosec 147^o = cosec (90^o - 57^o)
      ⇒ cosec 147^o = sec 57^o
      Jadi, cosec 147^o = sec 57^o

   
   
3. Dengan menggunakan rumus perbandingan triogonometri untuk sudut (90^o + α^o), hitunglah nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut ini!
   a. sin 135^o
   b. cos 150^o
   c. tan 120^o
   
   Pembahasan
   

   1. sin 134^o = sin (90^o + 45^o)
      ⇒ sin 134^o = cos 45^o
      Jadi, sin 134^o = ½√2.
   2. cos 150^o = cos (90^o + 60^o)
      ⇒ cos 150^o = -sin 60^o
      Jadi, cos 150^o = -½√3.
   3. tan 120^o = tan (90^o + 30^o)
      ⇒ tan 120^o = -cot 30^o
      Jadi, tan 120^o = -√3.
4. Sederhanakanlah setiap bentuk berikut ini :
   a. cos (90^o - α^o) / sin (90^o - α^o)
   b. sec (90^o - α^o) / cosec (180^o + α^o)
   c. sin (90^o - α^o) / sin (90^o + α^o)
   d. sin (180^o - α^o) / sin (90^o - α^o)
   e. cos (90^o + α^o) / cosec (180^o - α^o)
   
   Pembahasan 
   

   1. cos (90^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = sin α^o / cos α^o
      ⇒ cos (90^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = tan α^o
      Jadi, cos (90^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = tan α^o.
   2. sec (90^o - α^o) / cosec (180^o + α^o) = cosec α^o / -cosec α^o
      ⇒ sec (90^o - α^o) / cosec (180^o + α^o) = -1
      Jadi, sec (90^o - α^o) / cosec (180^o + α^o) = -1
   3. sin (90^o - α^o) / sin (90^o + α^o) = cos α^o / cos α^o
      ⇒ sin (90^o - α^o) / sin (90^o + α^o) = 1
      Jadi, sin (90^o - α^o) / sin (90^o + α^o) = 1
   4. sin (180^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = sin α^o / cos α^o
      ⇒ sin (180^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = tan α^o
      Jadi, sin (180^o - α^o) / sin (90^o - α^o) = tan α^o
   5. cos (90^o + α^o) / cosec (180^o - α^o) = -sin α^o / cosec α^o
      ⇒ cos (90^o + α^o) / cosec (180^o - α^o) = -sin α^o / (1/sin α^o)
      Jadi, cos (90^o + α^o) / cosec (180^o - α^o) = - sin² α^o
5. Jika α, β, dan γ adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkanlah bahwa :
   a. sin (β + γ) = sin α
   b. cos (β + γ) = -cos α
   c. tan (β + γ) = -tan α
   
   Pembahasan 
   Ingat bahwa dalam segitiga jumlah sudutnya sam dengan 180^o, sehingga berlaku :
   α + β + γ = 180^o , → β + γ = 180^o - α.
   

   1. sin (β + γ) = sin α
      ⇒ sin (180^o - α) = sin α
      ⇒ sin α = sin α
      Terbukti.
   2. cos (β + γ) = -cos α
      ⇒ cos (180^o - α) = -cos α
      ⇒ -cos α = -cos α
      Terbukti.
   3. tan (β + γ) = -tan α
      ⇒  tan (180^o - α) = -tan α
      ⇒  -tan α = -tan α
      Terbukti.