Persamaan Trigonometri Sederhana

Persamaan Trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari suatu sudut yang belum diketahui

Rumus Penyelesaian Persamaan Trigonometri

Sinus



Cosinus



Tangen



k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.

Contoh:

Soal No. 1
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ¹/₂

Pembahasan
Dari:
sin x = ¹/₂

Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya ¹/₂ adalah 30°.

Sehingga
sin x = ¹/₂
sin x = sin 30°

Dengan pola rumus yang pertama di atas:



(i) x = 30 + k ⋅ 360
k = 0 → x = 30 + 0 = 30 °
k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °


(ii) x = (180 − 30) + k⋅360
   x = 120 + k⋅360            
x = 150 + k⋅360
k = 0 → x = 150 + 0 = 150 °
k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °

Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {30°, 150°}

Soal No. 2
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = ¹/₂

Pembahasan
¹/₂ adalah nilai cosinus dari 60°.

Sehingga

cos x = cos 60°



(i) x = 60° + k ⋅ 360°
k = 0 → x = 60 + 0 = 60 °
k = 1 → x = 60 + 360 = 420°

(ii) x = −60° + k⋅360
x = −60 + k⋅360
k = 0 → x = −60 + 0 = −60°
k = 1 → x = −60 + 360° = 300°

Himpunan penyelesaian yang diambil adalah:
HP = {60°, 300°}

Soal No. 3
Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x − 30) = ¹/₂ √3

Pembahasan
¹/₂ √3 miliknya sin 60°

Sehingga

sin (x − 30) = sin 60°



dan


Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}

Soal No. 4
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari
cos (x − 30°) = ¹/₂ √2

Pembahasan
Harga awal untuk ¹/₂ √2 adalah 45°



HP = {75°, 345°}

Soal No. 5
Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x + sin x = 0

untuk 0 < x ≤ 2π adalah.....
A. {π/2, 4π/3, 5π/3}
B. {π/2, 7π/6, 4π/3}
C. {π/2, 7π/6, 5π/3}
D. {π/2, 7π/6, 11π/6}
E. {π/2, 5π/3, 11π/6}

Pembahasan
Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:

cos 2x = cos2 x − sin2x cos 2x = 2 cos2 x − 1 cos 2x = 1 − 2 sin2 x

cos 2x + sin x = 0
1 − 2 sin² x + sin x = 0
− 2 sin² x + sin x + 1 = 0
2 sin² x − sin x − 1 = 0

Faktorkan:
(2sin x + 1)(sin x − 1) = 0
2sin x + 1 = 0
2sin x = −1
sin x = −¹/₂
x = 210° dan x = 330°
atau
sin x − 1 = 0
sin x = 1
x = 90°

Sehingga:
HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat.
HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.

Jawaban : D.

Soal No. 6
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
A. {2π/3,4π/3}
B. {4π/3, 5π/3}
C. {5π/6, 7π/6}
D. {5π/6, 11π/6}
E. {7π/6, 11π/6}

Pembahasan
Persamaan trigonometri:
Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 − 2sin² x


Soal No. 7
Himpunan penyelesaian persamaan 2cos ²x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…
A. {π/6, 5π/6}
B. {π/6, 11π/6}
C. {π/3, 2π/3}
D. {π/3, 5π/3}
E. {2π/3, 4π/3}

Pembahasan
2cos ²x − 3 cos x + 1 = 0

Faktorkan:
(2cos x − 1)(cos x − 1) = 0
(2cos x − 1) = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2
x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3

atau
(cos x − 1) = 0 cos x = 1
x = 0° dan x = 360° = 2π (Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π)

Jadi HP = {π/3, 5π/3}
Jawaban: D

Soal No. 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…
A. {150°,165°}
B. {120°,150°}
C. {105°,165°}
D. {30°,165°}
E. (15°,105°)

Pembahasan
Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:
cos 4x + 3 sin 2x = −1


Untuk faktor


Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor


Diperoleh

Jadi HP = {105°,165°}
Soal No. 9
Himpunan penyelesaian dari 2 sin² x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤  360° adalah....
A. {30°, 90°, 150°}
B. {30°, 120°, 240°}
C. {30°, 120°, 300°}
D. {30°, 150°, 270°}
E. {60°, 120°, 270°}
(UN Matematika SMA IPA 2014)

Pembahasan

Soal No. 10
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − 2 sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah....
A. {0, π, 3π/2, 2π}
B. {0, π, 4π/3, 2π}
C. {0, 2π/3; π, 2π}
D. {0, π, 2π}
E. {0, π, 3π/2}

Pembahasan
Soal ini lebih mudah lagi, syaratnya adalah 0 ≤ x < 2π , maka x tidak boleh memuat 2π, karena tandanya adalah lebih kecil dari 2π bukan lebih kecil atau sama dengan. Jadi pilihan yang ada 2π nya salah, hanya E yang tidak memuat 2π. Jadi jawabnya yang E