Perbandingan Trigonometri

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI Gambar berikut menunjukkan segitiga OAB siku-siku di A dengan besar sudut O = αo   dimana: x = sisi siku-siku samping sudut (proyeksi) y = sisi siku-siku depan sudut (proyektor) r = sisi miring (proyektum) Perbandingan trigonometri untuk sudut  α pada segitiga siku-siku OAB didefinisikan sebagai berikut. dengan: sin α dibaca sinus α cos α dibaca cosinus α tan α dibaca tangen α csc α dibaca cosecan α sec α dibaca secan α cot α dibaca cotangen α Dari perbandingan di atas, kita memperoleh hubungan sebagai berikut Tips untuk mempermudah mengingat perbandingan trigonometri segitiga siku-siku di atas perhatikanlah gambar berikut. dari gambar di atas didapat Atau kita dapat menyingkatnya  Untuk sinus menjadi  Sindemi  (Sin depan miring) Untuk cosinus menjadi Cosami (cos samping miring) Untuk tangent menjadi Tandesa (tan depan samping) Contoh: Suatu garis OP dengan O (0,0) dan P (12,5) membentuk sudut α terhadap sumbu X positif. Tentukan perbandingan trigonometrinya! Penyelesaian: sebelum kita menentukan nilai perbandingan trigonometrinya, terlebih dahulu kita cari nilai r dengan menggunakan pythagoras sehingga didapat. Bagikan :   Perbandingan Trigonometri Pertama, mari kita lihat sebuah busur berikut. Busur ini adalah seperempat bagian dari lingkaran satuan. Kalau kamu belum pernah mengetahui lingkaran satuan, berikut ini adalah definisinya. Lingkaran satuan Lingkaran yang jari-jarinya (atau jarak pinggiran dari titik pusatnya) adalah satu. Pada busur ini ditaruh sebuah titik. Untuk memudahkan, saya memberi nama titik tersebut P. Kemudian, titik pusat lingkarannya adalah O, dan ada titik lain Q yang berada pada sumbu horizontal. Karena jari-jarinya satu, maka jarak dari O ke P (OP) dan jarak dari O ke Q (OQ) adalah satu. Dan titik Q, O, dan P, membentuk sebuah sudut yang saya namakan θ. Panjang Busur Berapakah panjang busur PQ? Jika busurnya adalah bagian dari lingkaran satuan, maka panjang busurnya adalah sebesar θ dalam radian. Sudut bisa dinyatakan dalam satuan derajat, juga bisa dinyatakan tanpa satuan, itu disebut radian. 180° adalah setara dengan π radian. Fungsi trigonometri Sinus Dari P kita buat garis vertikal ke bawah (tegak lurus OQ), yang akan memotong sumbu horizontal di titik A. Jarak P ke A (PA) ini disebut sebagai sinus. Karena sudut yang berkaitan dengannya adalah θ, maka disebut sebagai sin θ. Sinus berarti lekukan. Di belakang hidungmu juga terdapat rongga yang disebut sinus. Ketika ronggamu ini terkena infeksi, itu disebut sinusitis. PA disebut sinus karena ia yang paling dekat dengan lekukan (busur). Tangen Jika kita membuat garis lurus yang menyentuh lingkaran, atau berpotongan dengan lingkaran di satu titik saja, garis itu disebut garis singgung. Ada sebuah garis yang menyinggung lingkaran di titik P, dan garis itu akan memotong sumbu horizontal di titik B. Jarak P ke B (PB) ini disebut sebagai tangen, disingkat sebagai tan θ. Tangen (atau tangent), berasal dari kata tangere yang berarti menyentuh. Ada istilah tangible yang berarti segala sesuatu yang dapat disentuh. Mungkin ini juga penyebabnya organ tubuhmu yang dipakai untuk menyentuh disebut sebagai tangan. PB disebut tangen karena ia menyentuh lingkaran. Sekan Nah, sekarang, pada gambar tersebut terdapat garis OB, yang disebut sebagai sekan, atau sec θ. Sekan (atau secant) berasal dari kata secare yang dalam bahasa Latin berarti memotong. Kata ini merupakan akar kata dari section. Karena OB memotong lingkaran, maka ia disebut sekan. Ko-sudut Setiap sudut memiliki sudut komplementer, yang saya singkat sebagai ko-sudut. Ko-sudut adalah sudut lain yang melengkapi sudut tersebut menjadi siku-siku (90°). Dalam gambar ini sudut POR melengkapi sudut QOP menjadi siku-siku. Karena sudut QOP tadi saya namakan θ, maka sudut POR saya namakan co θ. Besar sudut co θ adalah 90°-θ. Sebelumnya kita sudah melihat bahwa sudut θ memiliki sinus, tangen, dan sekan. Demikian juga dengan co θ. Itu semua disebut sebagai komplemen. Karena sin θ, tan θ, dan sec θ adalah fungsi, maka kita juga bisa membuat kofungsinya. Ko-fungsi Ko-fungsi adalah fungsi trigonometri lain yang sudutnya adalah komplemen dari sudut semula. Kofungsi dari sinus disebut kosekan, kofungsi dari tangen disebut kotangen, dan kofungsi dari sekan disebut kosekan. Secara umum, kalau fungsi trigonometrinya disebut ft(θ), maka kofungsinya disebut sebagai coft(θ), dengan hubungan sebagai berikut. coft(θ) = ft(co θ) coft(θ) = ft(90° - θ) Ko-sinus Ko-sinus adalah komplemen dari sinus. cos θ = sin(co θ) Atau cos θ = sin(90° - θ) Ko-tangen Ko-tangen adalah komplemen dari tangen. cot θ = tan(co θ) Atau cot θ = tan(90° - θ) Ko-sekan Ko-sekan adalah komplemen dari sekan. csc θ = sec(co θ) Atau csc θ = sec(90° - θ) Simetri Setiap fungsi trigonometri simetris dengan kofungsinya, karena sifat simetris dari co θ = 90° - θ. cos θ = sin(90° - θ), maka sin θ = cos(90° - θ) cot θ = tan(90° - θ), maka tan θ = cot(90° - θ) csc θ = sec(90° - θ), maka sec θ = csc(90° - θ) Seluruhnya Jadi, seluruh perbandingan trigonometri: