Minggu, 03 Mei 2015

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

 






Untuk menjawab hal ini, kita perlu memahami konsep kuadran. Kuadran adalah pembagian wilayah sudut menjadi 4 bagian yang sama dengan menggunakan koordinat kartesius.

Dengan memperhatikan grafik pembagian kuadran di atas, kita bisa memahami bahwa sudut-sudut istimewa terletak pada kuadran I, Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri di kuadran II, II, dan IV kita bisa menerapkan rumus perbandingan trigonometri yang telah kita pelajari sebelumnya, bahwa:




dimana r selalu positif, dan x atau y menyesuaikan letaknya dalam sumbu koordinat, maka diperoleh :






























Untuk menghafalkannya, kita cukup memandang nilai-nilai perbandingan yang positif saja, seperti pada grafik berikut :


Atau bisa kita lafalkan dengan ALL SIN TAN COS, sedangkan nilai perbandingan cosecan, secan dan cotangen letaknya sama dengan kebalikannya.

Soal dan Pembahasan Trigonometri Sudut berelasi

  1. Nyatakanlah perbandingan trigonometri berikut ini ke dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya!
    a. sin 52o
    b. cos 16o
    c. tan 57o
    d. cot 28o
    e. sec 56o
    f. cosec 49o

    Pembahasan 
    Perhatikan bahwa semua sudut yang ditanya berada pada kuadran I sehingga semua nilai perbandingan trigonometrinya positif.
    1. sin 52o = sin (90o - 38o)
      ⇒ sin 52o = cos 38o
      Jadi, sin 52o = cos 38o.
    2. cos 16o = cos (90o - 74o)
      ⇒ cos 16o = sin 74o
      Jadi, cos 16o = sin 74o
    3. tan 57o = tan (90o - 33o)
      ⇒ tan 57o = cot 33o
      Jadi, tan 57o = cot 33o
    4. cot 28o = cot (90o - 62o)
      ⇒ cot 28o = tan 62o
      Jadi, cot 28o = tan 62o
    5. sec 56o = sec (90o - 34o)
      ⇒ sec 56o = cosec 34o
      Jadi, sec 56o = cosec 34o
    6. cosec 49o = cosec (90o - 41o)
      ⇒ cosec 49o = sec 41o
      Jadi, cosec 49o = sec 41o

    Berikut rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90o - αo) dan (90o + αo). Ingat bahwa (90o - αo) menghasilkan sudut kuadran I sehingga semua perbandingan trigonometri bernilai positif sedangkan (90o + αo) menghasilkan sudut kuadran II sehingga hanya perbandingan trigonometri sinus dan cosecan yang bernilai positif.

    trigonometri sudut berelasi
  2. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut lancip!
    a. sin 134o
    b. cos 151o
    c. tan 99o
    d. cot 161o
    e. sec 132o
    f. cosec 147o

    Pembahasan
    Sudut lancip merupakan sudut yang berada pada kuadran I sehingga sudut pada soal harus kita ubah menjadi sudut kuadran I dengan mengunakan rumus untuk sudut (90o + αo). Ingat bahwa untuk sudut kuadran II hanya sinus dan cosecan yang bernilai positif.
    1. sin 134o = sin (90o + 44o)
      ⇒ sin 134o = cos 44o
      Jadi, sin 134o = cos 44o.
    2. cos 151o = cos (90o + 61o)
      ⇒ cos 151o = -sin 61o
      Jadi, cos 151o = -sin 61o
    3. tan 99o = tan (90o + 9o)
      ⇒ tan 99o = -cot 9o
      Jadi, tan 99o = -cot 9o
    4. cot 161o = cot (90o - 71o)
      ⇒ cot 161o = -tan 71o
      Jadi, cot 161o = -tan 71o
    5. sec 132o = sec (90o - 42o)
      ⇒ sec 132o = -cosec 42o
      Jadi, sec 132o = -cosec 42o
    6. cosec 147o = cosec (90o - 57o)
      ⇒ cosec 147o = sec 57o
      Jadi, cosec 147o = sec 57o

  3. Dengan menggunakan rumus perbandingan triogonometri untuk sudut (90o + αo), hitunglah nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut ini!
    a. sin 135o
    b. cos 150o
    c. tan 120o

    Pembahasan
    1. sin 134o = sin (90o + 45o)
      ⇒ sin 134o = cos 45o
      Jadi, sin 134o = ½√2.
    2. cos 150o = cos (90o + 60o)
      ⇒ cos 150o = -sin 60o
      Jadi, cos 150o = -½√3.
    3. tan 120o = tan (90o + 30o)
      ⇒ tan 120o = -cot 30o
      Jadi, tan 120o = -√3.
  4. Sederhanakanlah setiap bentuk berikut ini :
    a. cos (90o - αo) / sin (90o - αo)
    b. sec (90o - αo) / cosec (180o + αo)
    c. sin (90o - αo) / sin (90o + αo)
    d. sin (180o - αo) / sin (90o - αo)
    e. cos (90o + αo) / cosec (180o - αo)

    Pembahasan 
    1. cos (90o - αo) / sin (90o - αo) = sin αo / cos αo
      ⇒ cos (90o - αo) / sin (90o - αo) = tan αo
      Jadi, cos (90o - αo) / sin (90o - αo) = tan αo.
    2. sec (90o - αo) / cosec (180o + αo) = cosec αo / -cosec αo
      ⇒ sec (90o - αo) / cosec (180o + αo) = -1
      Jadi, sec (90o - αo) / cosec (180o + αo) = -1
    3. sin (90o - αo) / sin (90o + αo) = cos αo / cos αo
      ⇒ sin (90o - αo) / sin (90o + αo) = 1
      Jadi, sin (90o - αo) / sin (90o + αo) = 1
    4. sin (180o - αo) / sin (90o - αo) = sin αo / cos αo
      ⇒ sin (180o - αo) / sin (90o - αo) = tan αo
      Jadi, sin (180o - αo) / sin (90o - αo) = tan αo
    5. cos (90o + αo) / cosec (180o - αo) = -sin αo / cosec αo
      ⇒ cos (90o + αo) / cosec (180o - αo) = -sin αo / (1/sin αo)
      Jadi, cos (90o + αo) / cosec (180o - αo) = - sin2 αo
  5. Jika α, β, dan γ adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkanlah bahwa :
    a. sin (β + γ) = sin α
    b. cos (β + γ) = -cos α
    c. tan (β + γ) = -tan α

    Pembahasan 
    Ingat bahwa dalam segitiga jumlah sudutnya sam dengan 180o, sehingga berlaku :
    α + β + γ = 180o , → β + γ = 180o - α.
    1. sin (β + γ) = sin α
      ⇒ sin (180o - α) = sin α
      ⇒ sin α = sin α
      Terbukti.
    2. cos (β + γ) = -cos α
      ⇒ cos (180o - α) = -cos α
      ⇒ -cos α = -cos α
      Terbukti.
    3. tan (β + γ) = -tan α
      ⇒  tan (180o - α) = -tan α
      ⇒  -tan α = -tan α
      Terbukti.

3 komentar:

  1. Makasih materinya, sangat membantu sekali !!


    maharanicreation.blogspot.com

    BalasHapus
  2. Makasih materinya, sangat membantu sekali !!


    maharanicreation.blogspot.com

    BalasHapus
  3. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus