Identitas Trigonometri

Identitas Trigonometri

Posted on 14 Februari 2015 by yos3prens

Terdapat dua fungsi trigonometri atau lebih yang walaupun memiliki bentuk berbeda, tetapi grafik fungsinya sama. Sebagai contoh, dua fungsi

dan

yang tampaknya berbeda, tetapi kedua fungsi tersebut memiliki grafik fungsi yang dapat digambarkan sebagai berikut.

Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa walaupun kedua fungsi tersebut tampak berbeda, tapi sebenarnya kedua fungsi tersebut sama. Hal ini berarti, untuk setiap nilai x,

Persamaan yang terakhir ini disebut sebagai identitas trigonometri, dan akan kita diskusikan pada pembahasan kali ini. Gambar berikut ini mendaftar delapan identitas trigonometri dasar.


Catatan Tiga identitas pertama (dalam kotak warna orange) disebut sebagai identitas kebalikan. Dua identitas selanjutnya (dalam kotak warna hijau) disebut sebagai identitas rasio. Sedangkan, tiga identitas terakhir (dalam kotak berwarna biru) disebut sebagai identitas Pythagoras. Dua identitas Pythagoras terakhir dapat diturunkan dari identitas sebelumnya, yaitu cos² θ + sin² θ = 1, dengan membagi kedua ruasnya secara berturut-turut dengan cos² θ dan sin² θ. Sebagai contoh, dengan membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan cos² θ, kita mendapatkan

Untuk menurunkan identitas Pythagoras terakhir, kita harus membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan sin² θ untuk mendapatkan 1 + cot² θ = csc² θ.
Setelah mengetahui kedelapan identitas trigonometri dasar di atas, selanjutnya kita akan menggunakan identitas-identitas tersebut, bersama dengan pengetahuan kita mengenai aljabar, untuk membuktikan identitas-identitas lainnya.
Ingat bahwa identitas trigonometri merupakan pernyataan yang memuat kesamaan dua bentuk untuk setiap penggantian variabelnya dengan nilai di mana bentuk tersebut didefinisikan. Untuk membuktikan identitas trigonometri, kita gunakan substitusi trigonometri dan manipulasi aljabar dengan tujuan

1. Mengubah bentuk pada ruas kiri identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kanan, atau
2. Mengubah bentuk pada ruas kanan identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kiri.

Ada beberapa cara dalam membuktikan identitas trigonometri:

1.  Menyederhanakan kedua ruas.
2. Mengubah bentuk pada ruas kanan identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kiri.
3. Mengubah bentuk pada ruas kiri identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kanan.

Satu hal yang harus diingat dalam membuktikan identitas trigonometri adalah kita harus bekerja pada masing-masing ruas secara terpisah. Kita tidak boleh menggunakan sifat-sifat aljabar yang melibatkan kedua ruas identitas—seperti sifat penjumlahan kedua ruas persamaan. Karena, untuk melakukan hal tersebut, kita harus menganggap bahwa kedua ruas sudah sama, yang merupakan suatu hal yang akan kita buktikan. Intinya, kita tidak boleh memperlakukan masalah sebagai suatu persamaan.
Kita membuktikan identitas trigonometri untuk membangun kemampuan kita dalam mengubah satu bentuk trigonometri menjadi bentuk lainnya. Ketika kita bertemu dengan permasalahan dalam topik lain yang membutuhkan teknik pembuktian identitas, kita biasanya menemukan bahwa solusi permasalahan tersebut bergantung kepada bagaimana mengubah bentuk yang memuat trigonometri tersebut menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dalam kasus ini, kita tidak harus selalu bekerja dengan persamaan.
Contoh 1: Membuktikan Identitas Trigonometri
Buktikan bahwa sin θ cot θ = cos θ.
Pembahasan Untuk membuktikan identitas ini, kita ubah bentuk ruas kiri menjadi bentuk ruas kanan.

Pada contoh ini, kita mengubah bentuk pada ruas kiri menjadi bentuk yang ada pada ruas kanan. Ingat, kita membuktikan identitas dengan mengubah bentuk yang satu menjadi bentuk yang lain.
Contoh 2: Membuktikan Identitas Trigonometri
Buktikan bahwa tan x + cos x = sin x (sec x + cot x).
Pembahasan Kita dapat memulainya dengan menerapkan sifat distributif pada ruas kanan untuk mengalikan suku-suku yang ada dalam kurung dengan sin x. Kemudian kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk yang ekuivalen serta memuat tan x dan cos x.

Dalam kasus ini, kita mengubah ruas kanan menjadi ruas kiri.
Sebelum kita lanjut ke contoh-contoh selanjutnya, mari kita daftar beberapa petunjuk yang mungkin berguna dalam membuktikan identitas-identitas trigonometri.

---

Petunjuk untuk Membuktikan Identitas

1. Biasanya akan lebih mudah jika kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.
2. Carilah bentuk yang dapat disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.
3. Perhatikan operasi-operasi aljabar, seperti penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin dapat menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal dapat membimbing kita kepada bentuk yang dapat disederhanakan.
4. Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut bisa membantu.
5. Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.

---